Sur la cohomologie de Dolbeault des variétés projectives et les courants localement résiduels

Résumé. Soit X une variété projective. Soit Y1, . . . , Yp+1 des hypersurfaces sur X , en position d’intersection complète, et associées à des diviseurs amples. Nous montrons dans cette note que pour i ≤ p, la cohomologie de Dolbeault H(Ω) du faisceau Ω des q−formes holomorphes sur X peut être calculée comme la cohomologie de degré i d’un complexe de sections globales de courants localement résiduels. On peut également calculer de la même manière la cohomologie du sous-faisceau Ω̃ des formes holomorphes ∂−fermées comme la cohomologie d’un sous-complexe de courants localement résiduels ∂−fermés. On en déduit comme corollaire que toute classe de type (i, i) (i ≤ p + 1) admet comme représentant un courant d−fermé à support dans Y := Y1∩ . . .∩Yi. On montre également que tout courant localement résiduel T sur X , à support dans l’intersection Y = Y1 ∩ . . . ∩ Yi−1, peut être écrit comme un résidu global T = ResY1,...,Yi−1Ψ, avec Ψ une q−forme méromorphe à pôle dans Y1∪. . .∪Yi∪Yi, et on peut se passer de Yi ssi T est ∂−exact. On retrouve ainsi un théorème de Hererra-Dickenstein-Sessa ([11]). On donne pour conclure une nouvelle formulation équivalente de la conjecture de Hodge. Abstract. Let X be a projective manifold. Let Y1, . . . , Yp+1 be p + 1 ample hypersurfaces in complete intersection position on X , each defined by the global section of an ample Cartier divisor. We show in this note that for i ≤ p + 1, the cohomology groups H(Ω) can be computed as the i−th cohomology groups of some complex of global sections of locally residual currents on X . We could also compute the cohomology of the subsheaves Ω̃ ⊂ Ω of ∂−closed holomorphic forms by the corresponding subsheaves of ∂−closed locally residual currents. We deduce like this that any cohomology class of bidegree (i, i) has an element which is a d−closed locally residual current with support in Y1 ∩ . . . ∩ Yi. We also show that any locally residual current T of bidegree (q, i − 1) with support in Y1 ∩ . . . Yi−1 can be written as a global residue T = ResY1,...,Yi−1Ψ of some meromorphic form with pole in Y1 ∪ . . .∪Yi. We can avoid Yi iff the current in ∂−exact; we deduce as corollaries a theorem of Hererra-Dickenstein-Sessa ([11]). We give as a conclusion a new formulation of the Hodge conjecture.